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Inhaltsverzeichnis
Computerbasierte Techniken zum Bestimmen von Funktionen
Eine wichtige Rolle im Mathematikunterricht spielt der Funktionsbegriff.
Definition
Eine Funktion f ist eine eindeutige Zuordnung (Abbildung), die jedem Element x aus einer Menge D eindeutig ein Element y aus einer Menge W zuordnet. Es entsteht eine Menge geordneter Paare. D heißt Definitionsbereich, W Wertebereich der Funktion f; x nennt man Argument, das zugeordnete Element y aus W heißt Funktionswert von x und wird auch mit f(x) bezeichnet.
In diesem Abschnitt wollen wir den Computer benutzen, um Funktionen aus ihren Eigenschaften zu bestimmen.
Bestimmung linearer Funktionen
Eine lineare Funktion ist eine Funktion mit der Funktionsgleichung $y=f(x)=m \cdot x + n$ mit $m, n \in \mathbb{R}$. $m$ und $n$ sind die Parameter der Funktion. $m$ ist der Anstieg der Funktion, $n$ ist der Achsenabschnitt.
Zunächst wollen wir uns überlegen, aus welchen gegebenen Stücken sich eine lineare Funktion bestimmen lässt. Eine lineare Funktion lässt sich aus den folgenden Stücken bestimmen.
- Anstieg und ein Punkt
- zwei Punkte
Nun soll ein Programm entwickelt werden, mit dem sich zunächst für die zwei Fälle die Funktionsgleichung ermitteln lässt. Weiterhin soll das Programm die Funktionseigenschaften Nullstelle und Monotonie der jeweiligen Funktion mit ausgeben.
Um uns der Lösung zu nähern, wollen wir zunächst ein bisschen rechnen.
Aufgabe 1
Ermittle jeweils die Gleichung der linearen Funktion aus dem gegebenen Punkt und den Anstieg. Löse die Aufgaben ohne Verwendung eines Taschenrechners!
a) $m=3, \text{P}(3|4)\quad$ b) $m=-\dfrac{1}{3}, \text{P}(0|0)\quad$ c) $m=0, \text{P}\left(\dfrac{1}{2}|-\dfrac{1}{3}\right)\quad$ d) $m, \text{P}\left(x_p|y_p\right)$
Aufgabe 2
Ermittle jeweils die Gleichung der linearen Funktion aus den zwei gegebenen Punkten, wenn möglich. Löse die Aufgaben ohne Verwendung eines Taschenrechners!
a) $\text{P}_1\left(-1|-3\right), \text{P}_2\left(1|5\right)\quad$ b) $\text{P}_1\left(0|1,5\right), \text{P}_2\left(-2|9,5\right)\quad$ c) $\text{P}_1\left(\dfrac{1}{2}|4\right), \text{P}_2\left(\dfrac{2}{3}|4\right)\quad$
d) $\text{P}_1\left(3|4\right), \text{P}_2\left(3|7\right)\quad$ e) $\text{P}_1\left(x_1|y_1\right), \text{P}_2\left(x_2|y_2\right)\quad$
Aufgabe 3
Ermittle für die folgenden linearen Funktionen jeweils die Monotonie und die Nullstelle!
a) $f(x)=2x-1\quad$ b) $f(x)=-\dfrac{3}{8}x+\dfrac{1}{4}\quad$ c) $f(x)=3\quad$ d) $f(x)=0$
Aufgabe 4
Schreibe ein Pythonprogramm, welches nach Eingabe des Anstiegs m und eines Punktes P die Gleichung der entsprechenden linearen Funktion ermittelt. Das Programm soll auch alle Sonderfälle behandeln.
Aufgabe 5
Schreibe ein Pythonprogramm, welches nach Eingabe zweier Punkte die Gleichung der entsprechenden linearen Funktion ermittelt. Das Programm soll auch alle Sonderfälle behandeln.
Aufgabe 6
Schreibe ein Pythonprogramm, welches der Gleichung einer linearen Funktion die Monotonie und die Nullstelle der Funktion ermittelt. Das Programm soll auch alle Sonderfälle behandeln.
Aufgabe 7
Die Programme aus den Aufgaben 4 bis 6 sollen verbessert werden. Zunächst soll es möglich sein, die Koordinaten bzw. m und n in Form von Brüchen z.B $-\dfrac{2}{3}$ als „-2/3“ einzugeben. Beschäftige dich dazu mit dem Modul fractions:
https://docs.python.org/3/library/fractions.html
Weiterhin sollen die Programme bei beliebigen falschen Eingaben nicht abstürzen. Stattdessen soll eine Fehlermeldung ausgegeben werde und die Eingabe soll wiederholt werden. Beschäftige dich dazu mit dem Konstrukt try-except:
https://docs.python.org/3/tutorial/errors.html
Verbessere die Programme entsprechend.
Bestimmung quadratischer Funktionen
Eine quadratische Funktion ist eine Funktion mit der Funktionsgleichung $y=f(x)=a \cdot x^2 + b\cdot x + c$ mit $a, b, c \in \mathbb{R}$ und $a \neq 0$.
Ein Spezialfall einer quadratischen Funktion entsteht, wenn man für den Parameter vor $x^2$ den Wert 1 einsetzt.
Eine quadratische Funktion der $y=f(x)=x^2 + p\cdot x + q$ mit $p,q \in \mathbb{R}$ heißt Normalform einer quadratischen Gleichung.
Allgemeine quadratische Funktionen haben die Parameter a, b und c, die gesucht sind, wenn man die Funktionsgleichung bestimmen möchte. Für diesen allgemeinen Fall benötigt man 3 Punkte. Wenn man die Punkte einsetzt, erhält man ein Gleichungssystem mit drei Unbekannten.
Bei quadratischen Gleichungen in Normalform werden sind nur die Parameter p und q gesucht. In diesem Fall genügen zwei Punkte um die Funktionsgleichung zu bestimmen.
Beginnen wir mit den einfacheren Fall:
Beispiel 1
Ermittle die Gleichung der quadratischen Funktion, die durch die Punkte $P_1(-2|15)$ und $P_2(4|9)$ geht!
$f(x) = x^2 +px + q$
Einsetzen:
$f(-2)=(-2)^2+p \cdot (-2)+q=15$
$f(4)=(4)^2+p \cdot 4+q=9$
Gleichungssystem aufstellen und lösen:
I $\quad -2p+q=11$
II $\quad \, \, \, 4p+q=-7$
I-II $\quad -6p=18$
$\qquad \quad \,\,\, \underline{p=-3}$
$4+2 \cdot 3 + q = 15$
$\qquad \qquad \, \, \, \, \underline{q = 5} $
$\underline{\underline{f(x)=x^2-3x+5}}$
Beispiel 2
Ermittle die Gleichung der quadratischen Funktion, die durch die Punkte $P_1(-1|1)$, $P_2(3|-1)$ und $P_3(5|7)$ geht!
$f(x)=ax^2+bx+c$
Einsetzen:
$f(-1)=a \cdot (-1)^2+b \cdot (-1) +c =1$
$f(3)=a \cdot 3^2+b \cdot 3 +c =-1$
$f(5)=a \cdot 5^2+b \cdot 5 +c =7$
Gleichungssystem aufstellen:
I $\qquad \quad \, a-b+c=1$
II $\qquad 9a+3b+c=-1$
III $\quad \, \, 25a+5b+c=7$
Additionsverfahren:
II-I: $\qquad 8a+4b=-2 \quad \vert :2$
$\qquad \quad \, \, 4a+2b=-1\quad$ I'
III-I: $\qquad 24a+6b=6 \quad \vert :6$
$\qquad \quad \quad \, \, \, 4a+b=1 \quad$ II'
I'-II': $\qquad \underline{b=-2}$
$b$ in II': $\qquad 4a-2=1$
$\qquad \qquad \qquad \, \, \, \, \underline{a=\dfrac{3}{4}}$
$a,b$ in I: $\qquad \dfrac{3}{4}-(-2)+c=1$
$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \, \, \, \underline{c=-\dfrac{7}{4}}$
$\underline{\underline{f(x)=\dfrac{3}{4}x^2-2x-\dfrac{7}{4}}}$
Aufgabe 8:
Ermittle jeweils ohne Rechenhilfsmittel die quadratische Gleichung in Normalform, die durch die beiden Punkte geht. Überprüfe dein Ergebnis mit dem Taschenrechner oder mit Geogebra.
In einem Fall lässt sich keine Funktionsgleichung finden. Überlege allgemein, wann das passiert.
a) $P_1(-1|3), P_2(2 | -6) \quad$ b) $P_1(3|4), P_2 \left(1 | -\dfrac{1}{2} \right) \quad$ c) $P_1(-2|-1), P_2(-2 | 3)$
Aufgabe 9:
Versuche die Aufgabe allgemein zu lösen!
$P_1(x_1|y_1), P_2(x_2 | y_2)$
Aufgabe 10:
Schreibe ein Pythonprogramm welches nach Eingabe zweier Punkte die zugehörige Gleichung der quadratischen Funktion ermittelt!