1.1.1 Zahlsysteme und Zeichenkodierung

Dualsysstem

Einstieg:
Bereits in Klasse 7 haben Sie die Dualzahlen (oder auch Binärzahlen) kennengelernt. Digitale Systeme arbeiten auf Basis des Dualsystems, weil sich die beiden Ziffern 0 und 1 besonders einfach umsetzen lassen (0 ≙ 0V, 1 ≙ 5V).

Genau wie das Dezimalsystem ist das Dualsystem ein Stellenwertsystem. Im Unterschied zum Dezimalsystem, arbeitet es nicht mit Zehnerpotenzen, sondern mit Zweierpotenzen.

Beispiel 1 Darstellung der Dezimalzahl $(3045)_{10}$ in der Stellentafel:

$10^4=10000$	$10^3=1000$	$10^2=100$	$10^1=10$	$10^0=1$
$0$	$3$	$0$	$4$	$5$

Beispiel 2 Darstellung der Binärzahl $(10010011)_2$ in der Stellentafel:

$2^7=128$	$2^6=64$	$2^5=32$	$2^4=16$	$2^3=8$	$2^2=4$	$2^1=2$	$2^0=1$
$1$	$0$	$0$	$1$	$0$	$0$	$1$	$1$

Allgemein kann man ein Stellenwertsystem wie folgt definieren:

Ein Stellenwertsystem wird definiert durch die Basis R und die Menge seiner Ziffern d. Eine natürliche Zahl N wird durch folgende Summe dargestellt: $$N = d_n \cdot R^n + ... + d_1 \cdot R^1 + d_0 \cdot R^0$$

Entsprechend der obigen Beispiele kann man die Zahlen nun wie folgt schreiben:

Beispiel 1: $(3045)_2=3 \cdot 10^3 + 0 \cdot 10^2 + 4 \cdot 10^1 + 5 \cdot 10^0$

Beispiel 2: $(10010011)_2 = 1 \cdot 2^7 + 0 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^4 + 0 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 +1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0$

Umrechnen zwischen Dezimal- und Dualzahlen

Umwandeln von Dualzahlen in Dezimalzahlen

Um eine Binärzahl ins Dezimalsystem umzurechnen, trägt man sie einfach in eine Stellentafel ein und addiert die Zweierpotenzen, bei denen in der Stellentafel eine 1 steht.

Beispiel 3 (Zahl aus Beispiel 2)

$(10010011)_2 = 128 + 16 + 2 + 1 = 147$

Umwandeln von Dezimalzahlen in Dualzahlen

Um eine Dezimalzahl ins Binärsystem umzurechnen, zerlegt man sie zunächst in eine Summe aus Zweierpotenzen:

$156 = 128 + 16 + 8 + 4$

Nun trägt man bei allen auftretenden Zweierpotenzen in die Stellentafel eine 1 ein, ansonsten trägt man Nullen ein:

$2^7=128$	$2^6=64$	$2^5=32$	$2^4=16$	$2^3=8$	$2^2=4$	$2^1=2$	$2^0=1$
$1$	$0$	$0$	$1$	$1$	$1$	$0$	$0$

Nun kann man die Zahl einfach aus der Stellentafel ablesen, wobei man führende Nullen weglassen kann:

$\rightarrow (10011100)_2$

Beispiel 5

Eine weitere Möglichkeit um Dezimalzahlen in Dualzahlen umzurechnen ist die fortgesetzte Division mit Rest, bis sich 0 ergibt:

$$ \begin{array}{rcll} 156 : 2&=&78 & \text{Rest } 0 \\ 78 : 2&=&39 & \text{Rest } 0 \\ 39 : 2&=&19 & \text{Rest } 1 \\ 19 : 2&=&9 & \text{Rest } 1 \\ 9 : 2&=&4 & \text{Rest } 1 \\ 4 : 2&=&2 & \text{Rest } 0 \\ 2 : 2&=&1 & \text{Rest } 0 \\ 1 : 2&=&0 & \text{Rest } 1 \\ \end{array} $$ Die Reste ergeben nun von unten nach oben gelesen die gesuchte Dualzahl:

$\rightarrow (10011100)_2$