======Algorithmen und geometrische Konstruktionen====== =====Geometrische Konstruktionen mit Zirkel und Lineal==== **Hilfsmittel:** * unendlich langes Lineal ohne Längeneinteilung * Zirkel mit unendlich großer Zirkelspanne * (Stift) **Erlaubte Zeichenoperationen** * ziehen einer Gerade (Strecke, Strahl) durch zwei gegebene Punkte * zeichnen eines Kreises um einen gegebenen Mittelpunkt durch einen weiteren Punkt bzw. mit dem Abstand zweier gegebener Punkte als Radius * übertragen des Abstandes zweier gegebener Punkte mit dem Zirkel ====Geometrische Grundkonstruktionen==== ===Konstruieren der Mittelsenkrechten einer Strecke=== Gegeben ist eine Strecke $\overline{\text{PQ}}$. - Ich zeichne einen Kreis $\text{k}_1$ um den Punkt P durch den Punkt Q. - Ich zeichne einen Kreis $\text{k}_2$ um den Punkt Q durch den Punkt P. Wo die Kreise $\text{k}_1$ und $\text{k}_2$ sich schneiden, entstehen die Punkte $\text{S}_1$ und $\text{S}_2$. - Ich zeichne eine Gerade m durch die Punkte $\text{S}_1$ und $\text{S}_2$. m ist die gesuchte Mittelsenkrechte. Wo m die Strecke $\overline{\text{PQ}}$ schneidet, entsteht der Punkt M. M ist der gesuchte Mittelpunkt der Strecke $\overline{\text{PQ}}$. \\ {{youtube>qrf-9o-wpds}} \\ ===Halbieren eines Winkels=== Gegeben ist ein Winkel $\alpha$ mit dem Scheitelpunkt S. - Ich zeichne einen Kreis k mit einen beliebigen Radius r um den Punkt S. Wo k die Schenkel des Winkels schneidet, entstehen die Punkte P und Q. - Ich konstruiere die Mittelsenkrechte w der Strecke $\overline{\text{PQ}}$. w ist die gesuchte Winkelhalbierende. \\ {{youtube>I0Y4_ruPeu4}} \\ ===Errichten der Senkrechten zu einer Geraden in einem Punkt der Geraden=== Gegeben ist eine Gerade g und ein Punkt P $\in$ g. - Ich zeichne einen Kreis k mit einen beliebigen Radius r um den Punkt P. Wo k die Gerade g schneidet, entstehen die Punkte $\text{S}_1$ und $\text{S}_2$. - Ich konstruiere die Mittelsenkrechte s der Strecke $\overline{\text{S}_1\text{S}_2}$. s ist die gesuchte Senkrechte. \\ {{youtube>NDdwD90bQEE}} \\ ===Fällen des Lotes von einem Punkt auf eine Gerade=== Gegeben ist eine Gerade g und ein Punkt P $\not\in$ g. - Ich zeichne einen Kreis k mit einen Radius r, der größer ist als der Abstand von P zu g, um den Punkt P. Wo k die Gerade g schneidet, entstehen die Punkte $\text{S}_1$ und $\text{S}_2$. - Ich konstruiere die Mittelsenkrechte l der Strecke $\overline{\text{S}_1\text{S}_2}$. l ist das gesuchte Lot. \\ {{youtube>luD1Py3g2HU}} \\ **Aufgabe 1** Konstruiere ein Beispiel für jede der Grundkonstruktionen! **Aufgabe 2** Führe die folgenden Konstruktionen mit Zirkel und Lineal durch! * a) Gegeben ist eine Gerade g und ein Punkt P $\not\in$ g. Konstruiere mit Zirkel und Lineal eine Parallele zu g durch P. Bereite dich darauf vor, die Konstruktion mündlich zu beschreiben! * b) Gegeben ist eine Strecke $\overline{\text{PQ}}$ und eine Gerade g. Konstruiere mit Zirkel und Lineal alle Parallelen, die zur Gerade g den Abstand $\overline{\text{PQ}}$ haben. Bereite dich darauf vor, die Konstruktion mündlich zu beschreiben! * c) Gegeben sind die Strecken $\overline{\text{PQ}}$ und $\overline{\text{RS}}$. Konstruiere mit Zirkel und Lineal ein Rechteck mit den Seitenlängen $\overline{\text{PQ}}$ und $\overline{\text{RS}}$. Bereite dich darauf vor, die Konstruktion mündlich zu beschreiben! {{ :profil:klasse8:arbeitsblatt_konstruktionen.pdf |}} [[https://www.youtube.com/watch?v=zruvBnXXXsQ | Lösungsvideo zu a) und b)]]\\ [[https://www.youtube.com/watch?v=FzO_FZPvo50 | Lösungsvideo zu c)]] **Aufgabe 3** Löse die letzten beiden Aufgaben mit Hilfe von Geogebra, indem du * a) eine eingeschränkte Werkzeugleiste verwendest, \\ [[https://www.geogebra.org/m/bzczsjwr | (Zur Aufgabe 1!)]] bzw. [[https://www.geogebra.org/m/n5cwgmr2 | (Zur Aufgabe 2!)]] * b) nur Konstruktionsbefehle verwendest! \\ [[https://www.geogebra.org/m/uutnwmdh| (Zur Aufgabe 1!)]] bzw. [[https://www.geogebra.org/m/qrz3bu6c| (Zur Aufgabe 2!)]] ====Weitere Konstruktionsaufgaben==== Da wir im vorherigen Abschnitt gezeigt haben, dass die Grundkonstruktionen mit Zirkel und Lineal durchführbar sind, können wir diese als neue Konstruktionsbefehle nutzen. **Aufgabe 4** Führe die folgenden Konstruktionen mit Hilfe Geogebra Geometrieapp nur unter Verwendung folgenden Konstruktionsbefehle durch! Notiere dir jeweils das Konstruktionsprotokoll! * Kreis(Punkt1,Punkt2) * Kreis(Punkt1,Strecke(Punkt2,Punkt3)) * Schnittpunkt(Objekt1,Objekt2) * Gerade(Punkt1,Punkt2) * Strecke(Punkt1,Punkt2) * Mittelsenkrechte(Punkt1,Punkt2) * Senkrechte(Punkt,Gerade) (für Lot und Senkrechte in einem Punkt) * Winkelhalbierende(Punkt1,Punkt2,Punkt3) oder Winkelhalbierende(Gerade,Gerade) //**Konstruktionen:**// * a) Umkreis eines Dreiecks * b) Inkreis eines Dreiecks * c) Schwerpunkt eines Dreiecks [[https://www.geogebra.org/geometry| Geogebra Geometrieapp]] //Hilfen:// {{youtube>HU4w-3O3GHM}} \\ {{youtube>N9L00NLoDFg}} \\ \\ =====Algorithmen===== Eine Konstruktionsbeschreibung ist die eindeutige Beschreibung eines Vorgangs. Weitere Beispiele für die Beschreibung von Vorgängen sind: * ein Kochrezept * eine Bedienungsanleitung * ein mathematisches Verfahren Der arabische Mathematiker Abu Ja'far Mohammed ibn Musa //al-Khowarizmi// hat mathematische Verfahren in der ersten Hälfte des 9. Jahrhunderts beschrieben. Deshalb nennt man solche Beschreibungen auch Algorithmus. Ein **Algorithmus** ist eine //endliche Folge// von //eindeutig// bestimmten Elementaranweisungen, die den Lösungsweg eines Problems //exakt// und //vollständig// beschreiben. ((Ziegenbalg Jochen, Ziegenbalg Oliver, Ziegenbalg Bernd: Algorithmen von Hamurapi bis Gödel, {Springer Sektrum, Wiesbaden, 2016, S.26)) Auch in der Informatik gibt Algorithmen. Ein **Computerprogramm** ist ein vom Computer ausführbarer Algorithmus, der in einer Programmiersprache verfasst ist. **Aufgabe** Entscheide jeweils, ob es sich um einen Algorithmus handelt: * Schreiben eines Liebesbriefs * Finden aller durch 3 teilbaren Zahlen * Finden des größten gemeinsamen Teilers zweier ganzer Zahlen [[python:turtle|>> Programmieren mit dem Python-Turtlemodul]]